stat assignment
7.9
7.9 Solutio | n | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a) | A stratified sam | p | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b) | Here the number of sales invoices in each of the four strata differs significantly. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
So the stratified sampling should be done by selecting samples proportional to the stratum si | z | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
For example, | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
from stratum | 1 | 5 | 0 | 50 | 500 | = | invoices, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
from stratum 2 select 500(500/5000) = | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
from stratum 3 select 500( | 100 | invoices, and | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
from stratum 4 select 500( | 345 | invoices to get a representative sample form each stratum. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c) | In simple random sampling, each unit in the population has an equal chance of being selected into the sample. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
In stratified sampling, unlike the simple random sampling, proportionate representation across the entire population | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
is ensured by selecting samples from each stratum. That’s why the sampling in ( | a) |
7.21
7.21 Solution | ||||||||||
Let Xbar denote the sample mean. | ||||||||||
Then, Xbar is distributed as a normal distribution with mean | 8 | |||||||||
Therefore, Z = (Xbar – 8)/0.4 is distributed as a standard normal distribution. | ||||||||||
The probability the sample mean is between | 7.8 | 8.2 | xbar | P(Z < z) | ||||||
P(7.8 < Xbar < 8.2) = P[(7.8 - 8)/0.4 < Z < (8.2 - 8)/0.4] | – | 0.5 | 0.3085 | |||||||
P(-0.5 < Z < 0.5) | 0.6915 | |||||||||
P(Z < 0.5) - P(Z < -0.5) | 7.5 | -1 | 0.1056 | |||||||
0.3829 | 0.5000 | |||||||||
The probability that the sample mean is between 7.5 and 8 minutes is given by, | ||||||||||
P(7.5 < Xbar < 8) = P[(7.5 - 8)/0.4 < Z < (8 - 8)/0.4] | ||||||||||
P(-1.25 < Z < 0) | ||||||||||
P(Z < 0) - P(Z < -1.25) | ||||||||||
0.3944 | ||||||||||
If n = 100, Xbar is distributed as a normal distribution with mean 8 and standard deviation 2/√100 = 2/10 = | 0.2 | |||||||||
Therefore, Z = (Xbar – 8)/0.2 is distributed as a standard normal distribution. | ||||||||||
Now, the probability the sample mean is between 7.8 and 8.2 minutes is given by, | 0.1587 | |||||||||
P(7.8 < Xbar < 8.2) = P[(7.8 - 8)/0.2 < Z < (8.2 - 8)/0.2] | 0.8413 | |||||||||
P(-1 < Z < 1) | ||||||||||
P(Z < 1) - P(Z < -1) | ||||||||||
0.6827 | ||||||||||
d) | When the sample size increases from n = 25 to n = 100, the standard error of the sample mean reduces from 0.4 to 0.2. | |||||||||
Therefore more samples will be closer to the distribution mean as the sample size increases from n = 25 to n = 100. | ||||||||||
Hence the likelihood that the sample mean will fall within 0.2 minutes of the mean is much higher for samples of size 100 than for samples of size 25. |
7.23
7.23 Solution | ||
It is given that, n = 64, x = 48 | ||
The sample proportion, p, of “successful” people is given by, | ||
p = 48/64 = | 0.75 | |
It is given that, the population proportion, | π | |
Now, the standard error of the proportion is given by, | ||
√{π(1-π)/n} | ||
0.0573 |
7.25
7.25 Solution | |
It is given that, n = 40, | |
x = Number of Y’s in the data = 14 | |
The sample proportion, p, of college students who own shares of stock is given by, | |
p = 14/40 = | 0.35 |
It is given that, the population proportion, π = 0.30 | |
√{π(1-π)/n} = √{0.30(1-0.30)/40} | |
0.0725 |
7.29
7.29 Solution | ||||
It is given that, n = 100, π = | 0.25 | |||
Let p denote the sample proportion. | ||||
Thus, the sample proportion is normaly distributed with mean π =0.25 and standard deviation √{π(1-π)/n} = | 0.0433 | |||
Therefore, Z = (p – 0.25)/0.0433 is distributed as Standard Normal. | ||||
The probability that 25% or fewer male employees will indicate that they have to pick up the slack for moms working flextime is given by, | ||||
P(p ≤ 0.25) = P[Z ≤ (0.25 – 0.25)/0.0433] | ||||
P(Z ≤ 0) | ||||
-1.1547005384 | 0.1241 | |||
The probability that 20% or fewer will indicate that they have to pick up the slack for moms working flextime is given by, | ||||
P(p ≤ 0.20) = P[Z ≤ (0.20 – 0.25)/0.0433] | ||||
P(Z ≤ -1.1547) | ||||
If n =500, the sample proportion is normaly distributed with mean π =0.25 and standard deviation √{π(1-π)/n} = | 0.0194 | |||
Therefore, Z = (p – 0.25)/0.0194 is distributed as Standard Normal. | ||||
Now, the probability that 25% or fewer male employees will indicate that they have to pick up the slack for moms working flextime is given by, | ||||
P(p ≤ 0.25) = P[Z ≤ (0.25 – 0.25)/0.0194] | ||||
-2.5820 | 0.0049 | |||
P(p ≤ 0.20) = P[Z ≤ (0.20 – 0.25)/0.0194] | ||||
P(Z ≤ -2.5820) | ||||